O que é Regra de Três Composta?

A Regra de Três Composta é uma ferramenta matemática utilizada para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas relacionadas. Diferente da Regra de Três Simples, que trabalha com apenas duas grandezas, a composta pode envolver três ou mais, simultaneamente.

Para que Serve a Regra de Três Composta?

Ela é fundamental para solucionar problemas que possuem múltiplas variáveis que se influenciam mutuamente. Exemplos comuns incluem:

• Produção em fábricas: operários, tempo e quantidade de produtos.
• Construção civil: número de trabalhadores, dias e obras.
• Transporte: quantidade de veículos, velocidade e carga.

Como Funciona a Regra de Três Composta?

O princípio é o mesmo da Regra de Três Simples: analisar as relações de proporcionalidade entre as grandezas e resolver através de uma proporção. No entanto, na composta, devemos analisar cada grandeza em relação ao resultado final e verificar se são diretamente ou inversamente proporcionais.

Passos para Resolver:

1. Liste todas as grandezas envolvidas.
2. Identifique se cada grandeza é diretamente ou inversamente proporcional ao resultado.
3. Monte a proporção considerando as relações de proporcionalidade.
4. Multiplique os valores e resolva a equação.

Fórmula Geral da Regra de Três Composta

Seja um problema com \( n \) grandezas, a estrutura da resolução é:

\[ x = \frac{(v_1^{\pm 1}) \times (v_2^{\pm 1}) \times \ldots \times (v_n^{\pm 1}) \times R}{1} \]

Onde:

• \( v_i \): valor da grandeza i
• O expoente "+1" indica relação direta e "-1" relação inversa.
• \( R \): resultado ou valor final a ser determinado

Multiplicação Cruzada

Em geral, multiplicamos os valores das grandezas diretamente proporcionais e dividimos pelos inversamente proporcionais:

\[ x = \frac{\text{Produto das grandezas diretas}}{\text{Produto das grandezas inversas}} \]

Exemplo Prático

Problema: Se 4 máquinas produzem 200 peças em 5 horas, quantas peças serão produzidas por 6 máquinas em 3 horas?

Resolução:

• Máquinas → produção: relação direta (mais máquinas, mais produção).
• Tempo → produção: relação direta (mais tempo, mais produção).

Montamos a proporção:

\[ \frac{x}{200} = \frac{6}{4} \times \frac{3}{5} \]

Multiplicamos:

\[ \frac{x}{200} = \frac{6 \times 3}{4 \times 5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \]

Logo:

\[ x = 200 \times \frac{9}{10} \]

\[ x = 180 \text{ peças} \]

Dicas Importantes

• Sempre verifique se a relação entre as grandezas é direta ou inversa.
• Organize os dados em uma tabela para facilitar a visualização.
• Simplifique as frações quando possível.

Curiosidades sobre a Regra de Três Composta

• A Regra de Três Composta é amplamente utilizada em áreas como engenharia, administração e logística, onde várias variáveis precisam ser consideradas simultaneamente.
• Apesar de parecer complexa, é apenas uma extensão lógica da Regra de Três Simples, bastando entender as relações de proporcionalidade.
• É comum que sua aplicação aconteça automaticamente, como ao calcular o tempo de uma viagem considerando a quantidade de veículos e a velocidade.

Conclusão

A Regra de Três Composta é uma poderosa ferramenta que permite resolver problemas complexos de maneira estruturada e lógica. Seu domínio é essencial para diversas profissões e situações cotidianas que envolvem múltiplas variáveis.